A Hektórnál gyorsabban futó Achilles Hektórt Trója négyzetes alapú vára körül üldözni kezdi. Útvonaluk egyre szűkülő, négyszögű spirált ír le. Ha a négyszögű spirál oldalai a 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 stb. arányban viszonyulnak egymáshoz, akkor bizonyítható, hogy Achilles utoléri Hektórt, hiszen e sor összege véges (2-vel egyenlő).
Ám tételezzük fel, hogy a szűkülő, négyszögű spirál oldalai nem a fenti módon, hanem az 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 stb. arányban viszonyulnak egymáshoz. És erről a sorrol biztosan tudjuk, hogy az összege megszámlálhatóan végtelen, az 1 + 1 + 1 + 1 stb.-val egyenlő... : )
Achilles előnyt ad a teknősnek, és egyszerre indulnak. Ám amíg Achilles beéri azt a pontot, ahonnét a teknős indult, addigra a teknős már továbbhaladt valameddig. Amíg Achilles beéri az újabb pontot, addig a teknős továbbmegy stb. a végtelenségig. TEHÁT Achilles sohasem tudja utolérni a teknősbékát.
Már az újkori matematikusok is ki tudták számolni, hogy itt egy végtelen sort kell összeadni, aholis az összeg véges, TEHÁT bizonyítható, hogy Achilles utoléri a teknőst. Ezzel nincs is gond. Ismereteink szerint az UTOLÉRÉS bizonyítható, az interneten utána lehet nézni, hogyan.
De LEHAGYJA-E?